1.
PENGERTIAN
DAN MACAM-MACAM HIMPUNAN
A. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang telah didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang telah didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
Contoh
himpunan:
- Kumpulan
kata dalam kamus
B.
Macam-macam Himpuan
a.
Himpunan Berhingga
Himpunan
berhingga adalah himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga atau terbatas.
Contoh:
P = himpunan bilangan prima kurang dari 19 ditulis P = {2,3,5,7,11,13,15,17}
Pastikan himpunan P tersebut banyak anggotanya berhingga atau terbatas, yaitu n(P) = 8.
Contoh:
P = himpunan bilangan prima kurang dari 19 ditulis P = {2,3,5,7,11,13,15,17}
Pastikan himpunan P tersebut banyak anggotanya berhingga atau terbatas, yaitu n(P) = 8.
b.
Himpunan Tak Berhingga
Himpunan tak
berhingga adalah himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga atau tak
terbatas.
Contoh:
Misalkan D = himpunan bilangan asli habis dibagi dua atau ditulis D = {2,4,6,8,...}. Perhatikan bahwa anggota himpunan D banyaknya tak berhingga.
Contoh:
Misalkan D = himpunan bilangan asli habis dibagi dua atau ditulis D = {2,4,6,8,...}. Perhatikan bahwa anggota himpunan D banyaknya tak berhingga.
c.
Himpunan Kosong
Himpunan
kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong
dinotasikan dengan { } atau ∅.
K = himpunan bilangan prima genap yang lebih besar dari 5. Kita tahu bilangan prima yang genap hanyalah bilangan 2. Jadi tidak ada bilangan prima genap yang lebih dari 5. Sehingga: K = { }.
K = himpunan bilangan prima genap yang lebih besar dari 5. Kita tahu bilangan prima yang genap hanyalah bilangan 2. Jadi tidak ada bilangan prima genap yang lebih dari 5. Sehingga: K = { }.
d.
Himpunan Nol
Himpunan nol
adalah himpunan yang hanya mempunyai satu anggota, yaitu nol (0). Himpunan nol
ditulis dengan {0}. Perhatikan bahwa himpunan kosong tidak sama dengan himpunan
nol.
e.
Himpunan Semesta
Himpunan
semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau
objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dinotasikan dengan
S.
Contoh:
U = {mangga, jeruk, apel}, maka semesta pembicaraan dari himpunan U adalah himpunan S = {buah}.
Contoh:
U = {mangga, jeruk, apel}, maka semesta pembicaraan dari himpunan U adalah himpunan S = {buah}.
2. OPERASI HIMPUNAN DALAM DIAGRAM VENN
Kalian telah
mempelajari cara membaca diagram Venn. Sekarang, kita akan mempelajari cara
menyajikan suatu himpunan ke dalam diagram Venn.
Misalkan
S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2, 3, 5, 7}. Himpunan
P Q = {3, 5,
7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram
Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar di bawah
ini.
Gmbar 1.
Daerah yang di arsir merupakan P irisan Q |
Gambar 2.
Daerah yang diarsir merupakan P gabungan Q |
Agar
anda lebih memahami cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, perhatikan
contoh berikut.
Diketahui S = {0, 1, 2,
..., 15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8,
10, 12, 14}. Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan
dengan arsiran daerah-daerah himpunan berikut.
e. QC
f. P – R
Penyelesaian:
Diketahui:
S = {0, 1, 2, 3, ...,
15}
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Q = {1, 2, 5, 10, 11};
dan
R = {2, 4, 6, 8, 10,
12, 14}.
Berdasarkan
himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui
Diagram Venn-nya
sebagai berikut
Gambar 3.
Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q irisan R |
Gambar 4.
Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q irisan R |
Gambar 5.
Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q |
c. Daerah yang diarsir
pada diagram Venn di bawah menunjukkan himpunan Q R. Dari
gambar dapat diketahui bahwa Q R = {1, 2,
4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14}.
d. Dari soal dapat
diketahui bahwa Q R = {2,
10}, sehingga P (Q R) = {1,
2, 3, ..., 6} {2, 10} =
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}. Daerah arsiran pada diagram Venn di bawah ini
menunjukkan daerah P (Q R).
e. Diketahui S = {1, 2,
..., 15} dan Q = {1, 2, 5, 10, 11}, sehingga QC = {3, 4, 6, 7, 8, 9,
12, 13, 14, 15}. Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan
himpunan QC.
f. Diketahui P = {1, 2,
3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga P – R = {1, 2, 3, 4, 5,
6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3, 5}. Diagram Venn-nya sebagai berikut.
3. Cara
penyajaian : Bentuk Tabel dan Rincikan macam-macam himpunan
berdasarkan
jumlah anggota atau hubungan
Cara Penulisan
Himpunan
Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada contoh-contoh di
atas dirasakan sangat bertele-tele, tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan
cara menuliskan secara matematis, singkat dan jelas. Di dalam konsep teori
himpunan, Ada tiga cara dalam mendefinisikan suatu himpunan antara lain:
1. Dengan cara mendaftar setiap
anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal.
Contoh:
a. P = {1, 2, 4, 6, 8}
artinya;
P merupakan
suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 2, 4, 6, dan 8.
b. Q = {1, 3, 5, 7, 9} artinya;
Q merupakan
suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 3, 5, 7, dan 9.
2. Dengan cara menyebutkan sifat-sifat yang
dimiliki setiap anggota-anggotanya.
Contoh:
a. P
= himpunan vokal dalam abjad latin.
b. Q = himpunan
bilangan cacah ganjil yang kurang dari 10.
3. Dengan menggunakan notasi pembentuk
himpunan.
Contoh:
1. P ={x / x adalah
vokal dalam abjad latin}.
2. Q ={x / x adalah bilangan cacah
ganjil}.
3. R ={x / x adalah bilangan riil}
Macam-macam
Himpunan
Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan
terbagi menjadi beberapa macam :
1. Himpunan Kosong (himpunan hampa)
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota.
Himpunan kosong biasanya dinyatakan dengan notasi Æ atau {}.
Contoh:
1. A adalah himpunan manusia di
bumi yang berumur lebih dari lima abad.
sepanjang
pengetahuan kita,tidak ada manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad.
oleh karena itu, A = Æ.
2. B ={x / x = bilangan riil, x2 +
3 = 0} maka ditulis B = Æ
2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua obyek yang
sedang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dinyatakan dengan notasi S atau U (S singkatan
dari semesta dan U singkatan dari universal).
Contoh.
1. S = {5, 7, -4, 9}, A = {7, 9} maka dikatakan,
S merupakan
semesta dari himpunan A
2. Semesta pembicaraan dari K={a, i, o} adalah S =
{a, i, e, o, u} = himpunan huruf hidup dalam abjad latin, atau S = {abjad
latin}.
3. Himpunan Berhingga (Finit) dan Himpunan Tak
Berhingga (Infinit)
Suatu himpunan dapat merupakan himpunan yang berhingga atau himpunan yang
tak berhingga. Secara intuitif, himpunan dikatakan berhingga
jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen yang berbeda dan banyaknya
tertentu/berhingga (jika kita membilang banyak anggota yang berbeda
dalam himpunan itu, proses membilang yang kita lakukan akan berakhir) Sedangkan
himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai
anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. (proses membilang yang
kita lakukan untuk menghitung banyak anggota himpunan tersebut tidak akan
berakhir).
Contoh:
1. Ditentukan himpunan H = himpunan bilangan pada
permukaan jam duabelas. Maka H ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12} adalah himpunan finit, karena proses membilang kita akan
berhenti.
2. Himpunan I = himpunan bilangan asli genap
merupakan himpunan infinit, karena jika kita membilang banyak anggota himpunan
I = {2, 4, 6, …,} proses membilang kita tidak akan pernah berhenti.
3. J = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat
positif} = {1, 2, 3, ….}
J disebut
himpunan tak berhingga.
4. K = {Ali, Budi, Joko}
K disebut
himpunan berhingga.
Menyatakan Himpunan dengan Mendaftar
Anggota-Anggotanya
Menyatakan himpunan dengan mendaftar
anggota-anggotanya berarti semua anggota-anggota himpunan itu didaftar atau ditulis
satu per satu dalam kurung kurawal, dan anggota yang satu dengan anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh:
P = {11, 13, 17,
19, 23, 29, 31, 37, 39, 41, 43}
Dibaca: himpunan P adalah himpunan yang
anggotanya 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37, 39, 41, 43.
4. Hubungan
antara Himpunan dengan Diagram Venn
Perhatikan himpunan semesta dan himpunan-himpunan lain yang berada
pada diagram Venn tersebut. Anggota-anggota himpunan tertentu berada pada kurva
yang dibatasi oleh himpunan tersebut. Agar kalian lebih memahami cara membaca
diagram Venn, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh Soal;
Berdasarkan diagram Venn di atas, nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan
mendaftar anggota-anggotanya.
a. Himpunan S.
b. Himpunan P.
c. Himpunan Q.
f. Anggota himpunan P\Q.
g. Anggota himpunan PC.
Penyelesaian:
a. Himpunan S adalah himpunan semesta atau semesta pembicaraan. Himpunan S
memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan, sehingga S = {1, 2,
3, 4, ..., 20}.
b. Himpunan P adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan
P. Dalam diagram Venn, anggota himpunan P berada pada kurva yang dibatasi oleh
P. Jadi, P = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18}
c. Himpunan Q adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan
Q. Dalam diagram Venn, anggota himpunan Q berada pada kurva yang dibatasi oleh
Q. Jadi, Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
d. Anggota himpunan P Q adalah anggota
himpunan P dan sekaligus menjadi anggota himpunan Q = {3, 6, 9}.
e. Anggota himpunan P Q adalah semua
anggota himpunan P maupun himpunan Q = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}.
f. Anggota himpunan P\Q adalah semua anggota P tetapi bukan anggota Q,
sehingga P\Q = {1, 12, 15, 18}.
g. Anggota himpunan PC adalah semua anggota S tetapi
bukan anggota P, sehingga PC = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14,
16, 17, 19, 20}
5. Bilangan Bulat dan Bilangan
Riil
Bilangan bulat
Bilangan bulat terdiri
dari bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatifnya
(-1, -2, -3, …) dan bilangan nol. Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa
komponen desimal atau pecahan. Jika ditinjau dari segi nama, bilangan bulat
pasti sesuatu yang bulat. Maksudnya bilangan ini adalah bilangan utuh.
Himpunan semua bilangan
bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).
Sifat-sifat:
Himpunan Z tertutup di
bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua
bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga
tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum
tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
Contoh:
3 x 4 akan menghasilkan
12 dimana 3 adalah bilangan bulat, 4 adalah bilangan bulat dan 12 adalah
bilangan bulat.
3 – 6 akan menghasilkan
-3 dengan -3 adalah bilangan bulat negatif
3+ 6 akan menghasilkan
9 dengan 9 adalah bilangan bulat positif
sedangkan 2 / 3 akan
menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan
asli.
Bisa juga bilangan
bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:
4 / 2 akan menghasilkan
2 dengan 2 adalah bilangan bulat.
Bilangan bulat sebagai tipe
data dalam bahasa pemrograman
Bilangan bulat
(integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa
pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama integer.
Dalam alokasi memori, integer memerlukan 2 byte (16 bit) data di memori yang
artinya dapat menampung nilai hingga 2^16. Namun karena integer didefinisikan
sebagai type data signed tipe data integer hanya mampu di-assign nilai antara
-32768 sampai 32767. Apa itu signed? Signed maksudnya bilangan tersebut
memiliki tanda. Sebagaimana tanda – atau + di depan bilangan yang menunjukkan
nilai negatif atau positif. Lalu kenapa hanya bisa menampung nilai antara
-32768 hingga 32768 saja? Hal ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai
penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data
integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET, Delphi, dan Bahasa D memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit
signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga
2,147,483,647.
Bilangan Riil
Dalam matematika,
bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam
bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam notasi penulisan
bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di
belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah / scientific notation
bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik
“.”. Okelah kita nggak usah meributkan perbedaan itu. Yang penting kita tahu
dan mengerti maksud dari bilangan riil. Bilangan real merupakan gabungan
bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilanganirasional, seperti π dan akar2,
dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy
rasional, irisan Dedekind, dan deret
Archimides.
Himpunan semua bilangan
riil dalam matematika dilambangkan dengan R (pasti udah bisa nebak, simbol R
berasal dari kata “Real”).
Sifat-sifat
Himpunan R tertutup
untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan menghasilkan
bilangan riil juga
Contoh:
2,5 x 3,7 akan
menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan
9,25 adalah bilangan riil.
2,5 – 3,7 akan
menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 –
3,5 dihasilkan nilai -1,0)
2,5 + 3,7 akan
menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah bilangan riil positif
2,5 / 3,7 akan
menghasilkan 0,675 dimana 0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan
asli.
Bisa juga bilangan
bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:
4 / 2 akan menghasilkan
2 dengan 2 adalah bilangan bulat.
Bilangan riil sebagai tipe data
dalam bahasa pemrograman
Bilangan riil (real
atau floating point) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa
pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama real.
Dalam alokasi memori, real memerlukan 6 byte (48 bit) data di memori. Namun
karena real “juga” didefinisikan sebagai type data signed tipe data real hanya
mampu di-assign nilai antara 2.9 x 10^-39 s/d 1.7 x10^38.
Sumber :
http://trisofiya.wordpress.com/2013/06/07/tugas-matematika-iad-tentanng-bilagan-bulat-bilangan-riil/