HIMPUNAN DAN BILANGAN

1.   PENGERTIAN DAN MACAM-MACAM HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang telah didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Contoh himpunan:

-          Kumpulan kata dalam kamus

-          Kumpulan buku dalam perpustakaan

B. Macam-macam Himpuan

a.     Himpunan Berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga atau terbatas.
Contoh:
P = himpunan bilangan prima kurang dari 19 ditulis P = {2,3,5,7,11,13,15,17}
Pastikan himpunan P tersebut banyak anggotanya berhingga atau terbatas, yaitu n(P) = 8.

b.     Himpunan Tak Berhingga

Himpunan tak berhingga adalah himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga atau tak terbatas.
Contoh:
Misalkan D = himpunan bilangan asli habis dibagi dua atau ditulis D = {2,4,6,8,...}. Perhatikan bahwa anggota himpunan D banyaknya tak berhingga.

c.      Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dinotasikan dengan { } atau ∅.
K = himpunan bilangan prima genap yang lebih besar dari 5. Kita tahu bilangan prima yang genap hanyalah bilangan 2. Jadi tidak ada bilangan prima genap yang lebih dari 5. Sehingga: K = { }.

d.     Himpunan Nol

Himpunan nol adalah himpunan yang hanya mempunyai satu anggota, yaitu nol (0). Himpunan nol ditulis dengan {0}. Perhatikan bahwa himpunan kosong tidak sama dengan himpunan nol.

e.      Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dinotasikan dengan S.
Contoh:
U = {mangga, jeruk, apel}, maka semesta pembicaraan dari himpunan U adalah himpunan S = {buah}.

2.   OPERASI HIMPUNAN DALAM DIAGRAM VENN

Kalian telah mempelajari cara membaca diagram Venn. Sekarang, kita akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan ke dalam diagram Venn.

Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2, 3, 5, 7}. Himpunan P  Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar di bawah ini.

Gmbar 1. Daerah yang di arsir merupakan P irisan Q

Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping menunjukkan daerah P  Q. 

Adapun daerah arsiran pada Gambar di bawah menunjukkan daerah P  Q.

Gambar 2. Daerah yang diarsir merupakan P gabungan Q

Berdasarkan diagram Venn di di atas, tampak bahwa P  Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9}.

Agar anda lebih memahami cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, perhatikan contoh berikut.

Diketahui S = {0, 1, 2, ..., 15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan dengan arsiran daerah-daerah himpunan berikut.

a. P  Q  R

b. P  Q

c. Q  R

d. P  (Q  R)

e. Q^C 

f. P – R

Penyelesaian:

Diketahui:

S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan

R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui

bahwa P  Q  R = {2}

P  Q = {1, 2, 5}

Q  R = {2, 10}

P  R = 2, 4, 6}

Diagram Venn-nya sebagai berikut

Gambar 3. Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q irisan R

a. Daerah arsiran pada diagram Venn di bawah menunjukkan himpunan P  Q  R.

Gambar 4. Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q irisan R

b. Daerah arsiran di di bawah menunjukkan himpunan P  Q. Tampak bahwa P  Q = {1, 2, 5}.

Gambar 5. Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q

c. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di bawah menunjukkan himpunan Q  R. Dari gambar dapat diketahui bahwa Q  R = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14}.

Gambar 6. Daerah yang diarsir merupakan Q gabungan R

d. Dari soal dapat diketahui bahwa Q  R = {2, 10}, sehingga P  (Q  R) = {1, 2, 3, ..., 6}  {2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}. Daerah arsiran pada diagram Venn di bawah ini menunjukkan daerah P  (Q R).

Gambar 7. Daerah yang diarsir merupakan P gabungan dari Q irisan R

e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15} dan Q = {1, 2, 5, 10, 11}, sehingga Q^C = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}. Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan himpunan Q^C.

Gambar 8 Daerah yang diarsir merupakan komplemen Q

f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3, 5}. Diagram Venn-nya sebagai berikut.

Gambar 9. Daerah yang diarsir merupakan P selisis R

3. Cara penyajaian : Bentuk Tabel dan Rincikan macam-macam himpunan

berdasarkan jumlah anggota atau hubungan

Cara Penulisan Himpunan

Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada contoh-contoh di atas dirasakan sangat bertele-tele, tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan cara menuliskan secara matematis, singkat dan jelas. Di dalam konsep teori himpunan, Ada tiga cara dalam mendefinisikan suatu himpunan antara lain:

1.     Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal.

Contoh:

a.        P = {1, 2, 4, 6, 8} artinya;

P  merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 2, 4, 6, dan 8. 

b.       Q = {1, 3, 5, 7, 9} artinya;

Q merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 3, 5, 7, dan 9.

2.     Dengan cara menyebutkan sifat-sifat yang dimiliki setiap anggota-anggotanya.

Contoh:

a.  P = himpunan vokal dalam abjad latin.

b. Q = himpunan bilangan cacah ganjil yang kurang dari 10.

3.     Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.

Contoh:

1.       P  ={x / x adalah vokal dalam abjad latin}.

2.       Q ={x / x adalah bilangan cacah ganjil}.

3.       R ={x / x adalah bilangan riil}

Macam-macam Himpunan

Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan terbagi menjadi beberapa macam :

1.     Himpunan Kosong (himpunan hampa)

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong biasanya dinyatakan dengan notasi Æ atau  {}.

Contoh:

1.       A adalah himpunan manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad.

sepanjang pengetahuan kita,tidak ada manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad. oleh karena itu, A = Æ.

2.       B ={x / x = bilangan riil, x² + 3 = 0} maka ditulis B = Æ

2.    Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua obyek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dinyatakan dengan notasi S atau U  (S singkatan dari semesta dan U singkatan dari universal).

Contoh.

1.    S = {5, 7, -4, 9}, A = {7, 9} maka dikatakan,

S merupakan semesta dari himpunan A

2.    Semesta pembicaraan dari K={a, i, o} adalah S = {a, i, e, o, u} = himpunan huruf hidup dalam abjad latin, atau S = {abjad latin}.

3.    Himpunan Berhingga (Finit) dan Himpunan Tak Berhingga (Infinit)

Suatu himpunan dapat merupakan himpunan yang berhingga atau himpunan yang tak berhingga. Secara intuitif, himpunan dikatakan berhingga jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen yang berbeda dan banyaknya tertentu/berhingga (jika kita membilang banyak anggota yang berbeda dalam himpunan itu, proses membilang yang kita lakukan akan berakhir) Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. (proses membilang yang kita lakukan untuk menghitung banyak anggota himpunan tersebut tidak akan berakhir).

Contoh:

1.    Ditentukan himpunan H = himpunan bilangan pada permukaan jam duabelas. Maka    H ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} adalah himpunan finit, karena proses membilang kita akan berhenti.

2.    Himpunan I = himpunan bilangan asli genap merupakan himpunan infinit, karena jika kita membilang banyak anggota himpunan I = {2, 4, 6, …,} proses membilang kita tidak akan pernah berhenti.

3.    J = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif} = {1, 2, 3, ….}

J disebut himpunan tak berhingga.

4.    K = {Ali, Budi, Joko}

K disebut himpunan berhingga.

Menyatakan Himpunan dengan Mendaftar Anggota-Anggotanya

Menyatakan himpunan dengan mendaftar anggota-anggotanya berarti semua anggota-anggota himpunan itu didaftar atau ditulis satu per satu dalam kurung kurawal, dan anggota yang satu dengan anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh:

P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41, 43}

Dibaca: himpunan P adalah himpunan yang anggotanya 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41, 43.

4. Hubungan antara Himpunan dengan Diagram Venn

Perhatikan himpunan semesta dan himpunan-himpunan lain yang berada pada diagram Venn tersebut. Anggota-anggota himpunan tertentu berada pada kurva yang dibatasi oleh himpunan tersebut. Agar kalian lebih memahami cara membaca diagram Venn, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal;

Berdasarkan diagram Venn di atas, nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya.

a. Himpunan S.

b. Himpunan P.

c. Himpunan Q.

d. Anggota himpunan P  Q.

e. Anggota himpunan P  Q.

f. Anggota himpunan P\Q.

g. Anggota himpunan P^C.

Penyelesaian:

a. Himpunan S adalah himpunan semesta atau semesta pembicaraan. Himpunan S memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan, sehingga S = {1, 2, 3, 4, ..., 20}.

b. Himpunan P adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan P. Dalam diagram Venn, anggota himpunan P berada pada kurva yang dibatasi oleh P. Jadi, P = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18}

c. Himpunan Q adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan Q. Dalam diagram Venn, anggota himpunan Q berada pada kurva yang dibatasi oleh Q. Jadi, Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

d. Anggota himpunan P  Q adalah anggota himpunan P dan sekaligus menjadi anggota himpunan Q = {3, 6, 9}.

e. Anggota himpunan P  Q adalah semua anggota himpunan P maupun himpunan Q = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}.

f. Anggota himpunan P\Q adalah semua anggota P tetapi bukan anggota Q, sehingga P\Q = {1, 12, 15, 18}.

g. Anggota himpunan P^C adalah semua anggota S tetapi bukan anggota P, sehingga P^C = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}

5. Bilangan Bulat dan Bilangan Riil

Bilangan bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatifnya (-1, -2, -3, …) dan bilangan nol.  Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Jika ditinjau dari segi nama, bilangan bulat pasti sesuatu yang bulat. Maksudnya bilangan ini adalah bilangan utuh.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).

Sifat-sifat:

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

Contoh:

3 x 4 akan menghasilkan 12 dimana 3 adalah bilangan bulat, 4 adalah bilangan bulat dan 12 adalah bilangan bulat.

3 – 6 akan menghasilkan -3 dengan -3 adalah bilangan bulat negatif

3+ 6 akan menghasilkan 9 dengan 9 adalah bilangan bulat positif

sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.

Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:

4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama integer. Dalam alokasi memori, integer memerlukan 2 byte (16 bit) data di memori yang artinya dapat menampung nilai hingga 2^16. Namun karena integer didefinisikan sebagai type data signed tipe data integer hanya mampu di-assign nilai antara -32768 sampai 32767. Apa itu signed? Signed maksudnya bilangan tersebut memiliki tanda. Sebagaimana tanda – atau + di depan bilangan yang menunjukkan nilai negatif atau positif. Lalu kenapa hanya bisa menampung nilai antara -32768 hingga 32768 saja? Hal ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET, Delphi, dan Bahasa D memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.

Bilangan Riil

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah / scientific notation bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Okelah kita nggak usah meributkan perbedaan itu. Yang penting kita tahu dan mengerti maksud dari bilangan riil. Bilangan real merupakan gabungan bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilanganirasional, seperti π dan akar2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (pasti udah bisa nebak, simbol R berasal dari kata “Real”).

Sifat-sifat

Himpunan R tertutup untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan menghasilkan bilangan riil juga

Contoh:

2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan riil.

2,5 – 3,7 akan menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0)

2,5 + 3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah bilangan riil positif

2,5 / 3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana 0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.

Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:

4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan riil sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Bilangan riil (real atau floating point) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama real. Dalam alokasi memori, real memerlukan 6 byte (48 bit) data di memori. Namun karena real “juga” didefinisikan sebagai type data signed tipe data real hanya mampu di-assign nilai antara 2.9 x 10^-39 s/d 1.7 x10^38.

Sumber :

http://hady-berbagi.blogspot.com/2013/12/himpunan-pengertian-notasi-anggota.html

http://blogyudhistihira01.blogspot.com/2013/09/operasi-himpunan-dalam-diagram-venn.html

http://mtkq.blogspot.com/2012/06/teory-himpunan.html

http://hermantoerni.blogspot.com/p/blog-page_20.html

http://mafia.mafiaol.com/2013/01/membaca-diagram-venn.html

http://trisofiya.wordpress.com/2013/06/07/tugas-matematika-iad-tentanng-bilagan-bulat-bilangan-riil/

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat